A șaptea dimensiune

Sume de numere (I)

Nu putem începe a scrie despre sume de numere fără a aminti de Carl Friedrich Gauss, numit şi ‘prinţul matematicii’, cel care, copil fiind, şi-a uimit profesorul de la şcoala primară reuşind să facă mintal adunarea unui număr par de numere, sumă considerată la acea vreme dificil de aflat. Dar haideţi să vedem cum arată suma primelor n numere naturale nenule. Adică 1 + 2 + … + n. Pentru a calcula suma primelor n numere naturale nenule, se aplică formula 1 + 2 + … + n = n(n + 1)/2. Întâi să demonstrăm formula prin metoda inducţiei matematice. Verificăm formula pentru n = 1: 1 = 1 x (1 + 1)/2 (A). Acum arătăm că dacă egalitatea este adevărată pentru k, atunci este adevărată şi pentru k + 1. Pentru n = k avem: 1 + 2 + … + k = k(k + 1)/2 (1). Pentru n = k + 1 avem, dacă folosim relaţia (1): 1 + 2 + … + k + (k + 1) = k(k + 1)/2 + (k + 1) = k(k + 1)/2 + 2(k + 1)/2 = (k² + 3k + 2)/2 = (k + 1)(k + 2)/2, adică egalitatea este adevărată şi pentru k + 1. Iată şi câteva exemple:
Suma primelor 100 de numere naturale nenule
1 + 2 + … + 100 = 100 x 101/2 = 5.050
Suma primelor 2012 numere naturale nenule
1 + 2 + … + 2012 = 2012 x 2013/2 = 2.025.078
Formula se poate aplica şi pentru sume de numere naturale consecutive care nu încep cu 1, dacă dorim să evităm progresiile aritmetice. De exemplu, 54 + 55 + … + 700 = (1 + 2 + … + 700) – (1 + 2 + … + 53) = 700 x 701/2 – 53 x 54/2 = 245.350 – 1431 = 243.919.

Sume de numere (II)

Suma primelor n numere naturale impare se poate scrie 1 + 3 + 5 + … + (2n – 1). Pentru orice număr natural nenul n, avem 1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) = n². Să demonstrăm afirmaţia prin metoda inducţiei matematice. Pentru n = 1 avem: 1 = 1² (A). Acum presupunem că-i adevarată pentru n = k şi demonstrăm că este adevărată pentru n = k + 1. Pentru n = k, avem: 1 + 3 + 5 + … + (2k – 1) = k² (1) (relaţie considerată adevărată). Pentru n = k + 1, avem, folosind relaţia (1): 1 + 3 + 5 + … + (2k – 1) + [2(k + 1) – 1] = k² + (2k + 1) = (k + 1)², adică relaţia este adevărată şi pentru n = k + 1. Conform metodei inducţiei matematice, este adevărată pentru orice număr natural nenul. Iată şi câteva exemple.
1 + 3 + 5 + … + 101 = 1 + 3 + 5 + … + (2 x 51 – 1) = 51² = 2601.
1 + 3 + 5 + … + 997 = 1 + 3 + 5 + … + (2 x 499 – 1) = 499² = 249.001.

Sume de numere (III)

O sumă des întâlnită în gimnaziu, pentru cazuri particulare, este 1/1×2 + 1/2×3 + 1/3×4 + … + 1/n(n+1). Să zicem că avem calculul 1/1×2 + 1/2×3 + 1/3×4 + … + 1/1000×1001 (1). Metoda ‘clasică’ de rezolvare este scrierea respectivei sume un pic altfel, folosindu-se egalitatea 1/n(n+1) = 1/n – 1/n+1. Mai precis 1/1×2 = 1/1 – 1/2, 1/2×3 = 1/2 – 1/3, 1/3×4 = 1/3 – 1/4, …, 1/1000×1001 = 1/1000 – 1/1001. Acum, prin înlocuire în suma (1), avem 1/1×2 + 1/2×3 + 1/3×4 + … + 1/1000×1001 = 1/1 – 1/2 + 1/2 – 1/3 + 1/3 – 1/4 + … + 1/1000 – 1/1001 = 1/1 – 1/1001 = 1000/1001 (am redus termenii opuşi).

Dar există şi o metodă generală de calcul pentru o suma de forma celei de mai sus. Formula este 1/1×2 + 1/2×3 + 1/3×4 + … + 1/n(n+1) = n/n+1 (2), pentru orice număr natural nenul n. Să demonstrăm egalitatea (2) prin inducţie matematică. Pentru n = 1 avem egalitatea adevărată 1/1×2 = 1/2. Presupunem acum că egalitatea (2) este adevărată pentru n = k, adică avem 1/1×2 + 1/2×3 + 1/3×4 + … + 1/k(k+1) = k/k+1 (3), şi să demonstrăm că este adevărată pentru n = k + 1. Pentru n = k + 1 avem: 1/1×2 + 1/2×3 + 1/3×4 + … + 1/k(k+1) + 1/(k+1)(k+2) = k/k+1 + 1/(k+1)(k+2) = k+1/k+2 (am folosit relaţia (3)), adică egalitatea (2) este adevărată şi pentru n = k+1. Fiind parcurse cele două etape ale metodei inducţiei matematica, putem afirma că egalitatea (2) este adevărată pentru orice număr natural nenul. Iată şi un alt exemplu.
1/1×2 + 1/2×3 + 1/3×4 + … + 1/500×501 = 500/501.

Sume de numere (IV)

Suma pătratelor primelor n numere naturale nenule se poate scrie 1² + 2² + 3² + … + n². Pentru orice număr natural nenul n, avem 1² + 2² + 3² + … + n² = n(n+1)(2n+1)/6. Să demonstrăm afirmaţia prin metoda inducţiei matematice. Pentru n = 1, avem: 1² = 1x2x3/6 (A). Acum presupunem că este adevărată pentru n = k şi demonstrăm că este adevărată şi pentru n = k + 1. Pentru n = k, avem: 1² + 2² + 3² + … + k² = k(k+1)(2k+1)/6 (1) (relaţie considerată adevărată). Pentru n = k + 1, avem, folosind relaţia (1): 1² + 2² + 3² + … + k² + (k+1)² = k(k+1)(2k+1)/6 + (k+1)² = (k+1)(k+2)(2k+3)/6, după efectuarea adunării şi descompunerea rezultatului adunării în factori. Adică relaţia este adevărată şi pentru n = k + 1. Conform metodei inducţiei matematice, este adevărată pentru orice număr natural nenul. Iată şi câteva exemple.
1² + 2² + … + 50² = 50x51x101/6 = 42.925
1² + 2² + … + 200² = 200x201x401/6 = 2.686.700.

Citeste si articolele:

• Farmecul discret al Matematicii (II)
• Farmecul discret al Matematicii (I)
• Povestile nemuritoare ale Matematicii (IV)
• Povestile nemuritoare ale Matematicii (III)
• Povestile nemuritoare ale Matematicii (II)