A șaptea dimensiune

• Suma a zece numere naturale nenule și distincte este 62. Produsul numerelor se divide cu 60?

  Raspuns
  Vom demonstra că produsul numerelor se divide cu 60, prin reducere la absurd. Dacă niciunul dintre numere n-ar fi divizibil cu 3, atunci nici produsul lor n-ar fi divizibil cu 3, deci nici cu 60. Cele mai mici zece numere naturale diferite nedivizibile cu 3 au suma: 1 + 2 + 4 + 5 + 7 + 8 + 10 + 11 + 13 + 14 = 75 > 62, așa că trebuie să existe printre cele 10 și numere divizibile cu 3. Analog, dacă niciunul dintre numere n-ar fi divizibil cu 4, atunci nici produsul lor n-ar fi divizibil cu 4, deci nici cu 60. Cele mai mici zece numere naturale diferite nedivizbile cu 4 au suma: 1 + 2 + 3 + 5 + 6 + 7 + 9 + 10 + 11 + 13 = 70 > 62, deci printre cele zece numere există și numere divizibile cu 4. În sfârșit, dacă niciunul dintre numere n-ar fi divizibil cu 5, atunci nici produsul lor n-ar fi divizibil cu 5, deci nici cu 60. Cele mai mici zece numere naturale diferite nedivizibile cu 5 au suma: 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 7 + 8 + 9 + 11 + 12 = 65 > 62, deci printre cele zece numere se găsesc și numere divizibile cu 5. Din cele trei constatări rezultă că produsul celor zece numere se divide cu 3 x 4 x 5, adică cu 60.

• Care sunt următorii trei termeni ai șirului 0; 1; 4; 13; 32; 65; 116; 189; … ? (Problemă dată la Concursul interjudețean de matematică “Dimitrie Pompeiu”,ediția a XII-a, Botoșani, 11 – 13 mai 2012, la clasa a IV-a.)

  Raspuns
  Cresterea numerelor urmeaza sirul: 1, 3, 9, 19, 33, 51, 73,…
  Regula dupa care se formeaza acest sir este:
  1+2=3;
  3+6=9;
  9+10=19;
  19+14=33;
  33+18=51;
  51+22=73;
  ……………..
  Observam ca rata cresterii se obtine prin adunarea ultimei cresteri cu termenul corespunzator al progresiei aritmetice cu ratia 4: 2, 6, 10, 14, 18, 22,….. .
  Urmeaza deci ca termenul 189 va creste cu 73+26=99 =>189+99=288, urmatorul termen.
  288 va creste cu 99+30=129 => 288+129=417, urmatorul termen.
  417 va creste cu 129+34=163 => 417+163=580, urmatorul termen.
  Urmatorii 3 termeni ai sirului sunt, in ordine, 288, 417 si 580.

  In general pentru oricare 4 termeni consecutivi din sir : a, b, c si d, in aceasta ordine, formula de generare este : d = 3 *(c-b) + a + 4

  Putem utiliza si doar ultimii 2 termeni pentru a-l deduce pe urmatorul, avand o secventa de doar 3 numere de tip a_n, a_n+1, a_n+2, caz care ar genera si termenul al treilea al sirului dat, adica 4. Pastrand notatia propusa, algoritmul este: a_n+2=2a_n+1-a_n+k_i, unde k_i ia valorile [2, 6, 10, 14, 18, 22,…, i=n], iar n ia valori naturale de la 1 la infinit.

• Cinci copii își etalează economiile. Fiecare își exprimă leii economisiți printr-un număr natural. Împreună au 47 de lei, fiecare copil are un număr de lei diferit de celălalt, dar, oricum am lua doi copii, unul dintre ei are un număr de lei de câteva ori mai mare decât celălalt. Câți lei are fiecare copil?

  Raspuns
  Fie a⋲N numărul de lei ai copilului cu cea mai mică sumă de bani. Sumele celorlalți vor fi (în ordine crescătoare) de forma a∙b (b⋲N, b>1), a∙b∙c (c⋲N, c>1), a∙b∙c∙d (d⋲N, d>1) și a∙b∙c∙d∙e (c⋲N, c>1). Avem ecuația în numere naturale a(1+b+b∙c+b∙c∙d+b∙c∙d∙e) = 47. Cum 47 este număr prim, rezultă a = 1 (a = 47 nu convine). Acum avem b(1+c+c∙d+c∙d∙e) = 46, de unde b = 2 (b = 23 nu convine). Obținem c(1+d+d∙e) = 22, de unde c = 2 și d(1+e) = 10. Se obține varianta convenabilă d = 2 și e = 4. Copii au economisit 1, 2, 4, 8 și 32 de lei.

• Poți să dovedești, fără a efectua înmulțirile, că suma 1x2x3x4x5x6x7x8x9 + 10x11x12x13x14x15x16x17x18 se divide cu 19?

  Raspuns
  1x2x3x … x9 + 10x11x12x … x18 = 1x2x3x … x9 + (19 – 9)(19 – 8)(19 – 7) … (19 – 1). Cum produsul (19 – 9)(19 – 8)(19 – 7) … (19 – 1) are forma 19A – 1x2x3x … x9, unde A este un număr întreg, avem 1x2x3x … x9 + 10x11x12x … x18 = 19A, adică suma se divide cu 19.

Citeste si articolele:

• Intrebari de zgariat neuronii (I)
• Farmecul discret al Matematicii (V)
• Farmecul discret al Matematicii (IV)
• Farmecul discret al Matematicii (III)
• Farmecul discret al Matematicii (II)