Intrebari de zgariat neuronii (V)

sâmbătă, aprilie 8, 2017 12:33
Posted in category Educatie

Matematica

  • Unele numere de 3 cifre au următoarea proprietate: dacă şterg prima cifră a numărului, obţin un pătrat perfect; dacă şterg ultima cifră a numărului, obţin de asemenea un pătrat perfect. Care este suma tuturor numerelor de 3 cifre care au această proprietate?

    Raspuns
    A doua şi a treia cifră a numărului nu pot fi 2, 3, 7 sau 8, deoarece nici un număr ce are ultima cifră 2, 3, 7 sau 8 nu este pătrat perfect. Prima cifră nu poate fi 0. Oricum, după ştergerea primei cifre şi a ultimei cifre se obţine un pătrat perfect de două cifre. Pătratele perfecte de două cifre sunt: 16, 25, 36, 49, 64, 81. Acum, dacă primele două cifre formează numărul 16, pentru a treia cifră nu există decât varianta 4, adică avem numărul 164. Dacă primele două cifre formează numărul 25, nu găsim a treia cifră cu proprietăţile cerute. Dacă primele două cifre formează numărul 36, a treia cifră este 4, adică avem numărul 364. Dacă primele două cifre formează numărul 49, nu găsim a treia cifră cu proprietăţile cerute. Dacă primele două cifre formează numărul 81, a treia cifră este 6, adică avem numărul 816. Dacă ultimele două cifre formează numărul 16, prima cifră poate fi 8 şi am găsi din nou 816. Dacă ultimele două cifre ar forma unul din numerele 25, 36, 81, nu am găsi prima cifră cu proprietăţile cerute. Dacă ultimele două cifre ar forma numărul 49, prima cifră este 6, adică avem numărul 649. În sfârşit, dacă ultimele două cifre ar forma numărul 64, prima cifră este 1 şi obţinem, din nou, numărul 164. Numerele cu proprietăţile cerute sunt: 164, 364, 816, 649, iar suma lor este 1993.
  • Câte numere de şase cifre au prima şi ultima cifră egală cu 8?

    Raspuns
    Dacă se cunoaşte prima şi ultima cifră, înseamnă că celelalte patru cifre pot fi 0, 1, 2, …, 9. Adică avem atâtea numere câte sunt numere sunt în şirul 0000, 0001, …, 9999. Cum de la 0 la 9999 sunt 10.000 de numere, avem 10.000 de numere de şase cifre care au prima şi ultima cifră egală cu 8.
  • Care este cel mai mare şi cel mai mic număr real pozitiv care se poate obţine folosind cinci cifre de 1 şi orice fel de operaţii studiate in clasele V – VIII?

    Raspuns
    Pentru a obţine cel mai mare număr folosind cele cinci cifre de 1 folosim ridicările la putere. Şi avem variantele 11111 sau 11111. Dintre cele două numere, mai mare este 11111. Iată şi demonstraţia: 11111 > 11100 = 112 x 50 = (112)50 = 12150 > 11111. Numărul cel mai mic este 11-111.
  • Cum punem semne de operaţii şi paranteze astfel încât următoarele egalităţi să fie adevărate: 1 1 1 1 1 = 0; 1 1 1 1 1 = 6; 3 3 3 3 3 = 10, 7 7 7 7 7 = 50? Întrebările sunt preluate din lucrarea ‘Matematică distractivă şi recreativă pentru gimnaziu’, editura Taida, Iaşi, 2003, autor Alexandru Moscaliuc (fostul meu coleg de facultate şi de cameră, în căminele studenţeşti din Copoul Iaşiului).

    Raspuns
    Pentru 1 1 1 1 1 = 0, sunt mai multe variante, de exemplu: 1 x 1 + 1 – 1 – 1 = 0, 1 x 1 x 1 x 1 – 1 = 0 etc.
    Pentru 1 1 1 1 1 = 6 avem: (1 + 1) x (1 + 1 + 1) = 6.
    Pentru 3 3 3 3 3 = 10 avem: 3 + 3 + 3 + 3:3 = 10.
    Pentru 7 7 7 7 7 = 50 avem: (7x7x7 + 7):7 = 50.
  • Suma unui număr impar de numere naturale consecutive este 219. Care sunt numerele?

    Raspuns
    Fie x + 1, x + 2, …, x + n numerele din enunţ, unde n este numărul numerelor şi este impar. Suma numerelor este (x + 1) + (x + 2) + … + (x + n) = (x + x + … + x) (n termeni) + (1 + 2 + … + n) = nx + n(n + 1)/2. Cum suma numerelor este 219, avem egalitatea nx + n(n + 1)/2 = 219 (1). Înmulţind egalitatea (1) cu 2, avem: 2nx + n(n + 1) = 219 x 2 (2). Scoţând, în membrul stâng al egalităţii (2), n factor comun, avem: n(2x + n + 1) = 2 x 3 x 73 (3) (am scris 219 ca 73 x 3). Cum n < 2x + n + 1 (x fiind număr natural) avem variantele: n = 2 şi 2x + n + 1 = 3 x 73 sau n = 3 şi 2x + n + 1 = 2 x 73 sau n = 2 x 3 şi 2x + n + 1 = 73. Dar cum n este impar, avem n = 3, iar din egalitatea (3), înlocuind n cu 3, avem 3(2x + 3 + 1) = 2 x 3 x 73, de unde obţinem 2x + 4 = 146, iar de aici 2x = 142, de unde x = 71. Numerele căutate sunt 72, 73 şi 74.

Citeste si articolele:

You can leave a response, or trackback from your own site.

One Response to “Intrebari de zgariat neuronii (V)”

  1. Intrebari de zgariat neuronii (VI) | A șaptea dimensiune says:

    ianuarie 11th, 2019 at 20:13

    […] Intrebari de zgariat neuronii (V) […]

Adauga un comentariu