Intrebari de zgariat neuronii (VI)

marți, aprilie 11, 2017 15:13
Posted in category Educatie

Matematica

  • Se dau 31 de monede, dintre care 30 cântăresc la fel de mult (au aceeaşi masă), iar una este mai uşoară decât celelalte (sau mai grea), adică are masa mai mică (sau mai mare). Monedele au aceeaşi formă şi culoare. Dacă avem o balanţă, fără mase marcate, cum descoperim din maxim patru cântăriri care-i moneda mai uşoară (sau mai grea)?

    Raspuns
    Prima dată, se aşază 15 monede pe o parte a balanţei, 15 monede pe cealaltă parte şi o monedă rămâne jos (nu o punem pe balanţă). Dacă balanţa rămâne în echilibru, după ce aşezăm monedele, meneda mai uşoară (grea) este cea de jos, şi am terminat după o cântărire. Dacă balanţa nu rămâne în echilibru, luăm cele 15 monede din partea care se ridică, dacă moneda falsă este mai uşoară, sau din partea care este mai coborâtă, dacă moneda falsă este mai grea, şi aşezăm 7 monede pe o parte a balanţei, 7 pe cealaltă parte şi una jos. Dacă balanţa rămâne în echilibru, moneda falsă este cea de jos şi am terminat dupa două cântăriri. Dacă balanţa nu rămâne în echilibru, luăm cele 7 monede de pe partea unde se află moneda falsă, parte care se ridică sau coboară, şi aşezăm 3 monede pe o parte a balanţei, 3 pe cealaltă şi una jos. Dacă balanţa rămâne în echilibru, moneda falsă este cea de jos şi am terminat după trei cântăriri. Dacă balanţa nu rămâne în echilibru, luăm cele 3 monede de pe partea unde se află moneda falsă, parte care se ridică sau coboară, şi aşezăm o monedă pe o parte a balanţei, un ape cealaltă parte şi una jos. Dacă balanţa rămâne în echilibru, moneda falsă e cea de jos, dacă nu este una din cele două aşezate pe balanţă. Şi am terminat după patru cântăriri.
  • Volumul unui paralelipiped dreptunghic este de 24 cm3. Mărind dimensiunile paralelipipedului cu 2 cm, 3 cm, 4 cm, volumul paralelipipedului creşte de 8 ori. Cât este aria totală a paralelipipedului?

    Raspuns
    Fie a, b, c dimensiunile paralelipipedului. Volumul unui paralelipiped dreptunghic se calculează cu formula V = abc (produsul dimensiunilor), iar At = 2(ab + bc + ac). Din datele problemei, avem: V = 24, apoi, după mărire, (a + 2)(b + 3)(c + 4) = 24 x 8 sau (a + 2)(b + 3)(c + 4) = abc x 8 (1). Împarţind ambii membri ai relaţiei (1) la abc avem: (a + 2)(b + 3)(c + 4)/abc = 8 (2). Şi acum apare ‘cheia’ problemei: membrul stâng al egalităţii (2) se scrie (1 + 2/a)(1 + 3/b)(1 + 4/c). Astfel avem: (1 + 2/a)(1 + 3/b)(1 + 4/c) = 2 x 2 x 2 (3). Din egalitatea (3) obţinem a = 2, b = 3, c = 4, iar de aici avem: At = 2(2 x 3 + 3 x 4 + 4 x 2) = 2 x 26 = 52 cm2.
  • Doi matematicieni, Vlad si Marius, discutau la un moment dat:
    – Marius, ai trei baieti. Ce varste au?
    – Suma varstelor lor este data de astazi. Produsul varstelor lor este 36.
    – Imi mai trebuie un element. Nu-mi dau seama de varsta lor pe baza celor spuse pana acum.
    – Ok. Cel mai mic dintre baieti are parul rosu.
    – Acum lucrurile sunt clare!
    Ce varste au cei trei baieti ai lui Marius?
    Nota: cand am mentionat „data de astazi”, nu trebuie inteles la modul concret, data scrierii intrebarii.

    Raspuns
    36 poate fi descompus astfel:
    1. 36=36x1x1 (S=38)
    2. 36=18x2x1 (S=21)
    3. 36=12x3x1 (S=16)
    4. 36=9x4x1 (S=14)
    5. 36=6x6x1 (S=13)
    6. 36=9x2x2 (S=13)
    7. 36=6x3x2 (S=11)
    8. 36=4x3x3 (S=10)
    Deoarece Vlad, care stie in ce data este, nu poate da un raspuns unic la intrebare inseamna ca data din problema este de 13, cu cele doua variante de raspuns. Cand Marius precizeaza ca fiul cel mic are par rosu rezulta ca gemenii sunt fratii mai mari, varianta corecta de raspuns fiind 1; 6; 6.
  • Împărţind acelaşi număr natural mai mic decât 200, la numerele prime impare consecutive a, b, c se obţin resturi numere impare consecutive. Care este deîmpărţitul, care sunt împărţitorii şi care sunt câturile acestor împărţiri?

    Raspuns
    Notăm cu n numărul natural, n < 200. Numerele prime impare consecutive a, b, c sunt 3, 5, 7. Cum, la orice împărţire, restul este mai mic decât împărţitorul, cele trei resturi numere impare consecutive sunt 1, 3, 5. Cu alte cuvinte avem: n : 3 are restul 1, n : 5 are restul 3, n : 7 are restul 5. Scriind teorema împărţirii cu rest pentru cele trei împărţiri avem: n = 3p + 1, n = 5q + 3, n = 7s + 5 (1). Adunând 2 în ambii membri ai egalităţilor anterioare, relaţiile (1) devin: n + 2 = 3p + 3, n + 2 = 5q + 5, n + 2 = 7s + 7 (2). Scoţând factor comun în fiecare membru drept din relaţiile (2), avem: n + 2 = 3(p + 1), n + 2 = 5(q + 1), n + 2 = 7(s + 1) (3). Din egalităţile (3) avem că n + 2 se divide cu 3, 5 şi 7, adică n + 2 = [3, 5, 7] x k, unde k este un număr natural. Cum [3, 5, 7] = 105 şi n < 200, alegem k = 1 (dacă am alege k > 1 am obţine n > 200) şi avem: n + 2 = 105. De unde obţinem n = 103. Aşadar deîmpărţitul este 103, împărţitorii sunt, am văzut mai sus, 3, 5 şi 7, iar câturile sunt 34 (pentru 103 : 3), 20 (pentru 103 : 5) şi 14 (pentru 103 : 7).
  • Care este rezultatul calculului 9 + 99 + 999 + … + 999…9(100 cifre) + 101?

    Raspuns
    Ne vom ocupa întâi de suma 9 + 99 + 999 + … + 999…9 (100 cifre). Este clar că avem de adunat o sută de numere, primul număr format dintr-o cifră de 9, al doilea din două cifre de 9 şi aşa mai departe, ultimul dintr-o sută de cifre de 9. Adunăm întâi cifrele unităţilor. Avem de adunat 100 de cifre de 9. Dar cum adunarea repetată este înmulţire, în loc să adunăm de o sută de ori cifra 9, facem 9 x 100 = 900. Păstrăm 90 şi trecem la rezultat 0. Mergem la adunarea cifrelor zecilor. Aplicând acelaşi raţionament, avem 9 x 99 + 90(de la păstrare) = 981. Păstrăm 98 şi trecem la rezultat 1. La suma cifrelor sutelor avem: 9 x 98 + 98(de la păstrare) = 980. Păstrăm 98 şi trecem 0 la rezultat. La suma cifrelor miilor avem: 9 x 97 + 98(de la păstrare) = 971. Păstrăm 97 şi trecem 1 la rezultat. La suma cifrelor zecilor de mii avem: 9 x 96 + 97(de la păstrare) = 961. Păstrăm 96 şi trecem 1 la rezultat. La suma cifrelor sutelor de mii avem: 9 x 95 + 96(de la păstrare) = 951. Păstrăm 95 şi trecem 1 la rezultat. La suma cifrelor milioanelor avem: 9 x 94 + 95(de la păstrare) = 9 x 94 + 94 x 1 + 1 = 94 x (9 + 1) + 1 = 94 x 10 + 1 = 940 + 1 = 941. Păstrăm 94 şi trecem 1 la rezultat. Se observă că la rezultat se trece doar cifra 1. Şi aşa vom avea până la sfârşitul adunării. De exemplu, penultima adunare arată aşa: 9 x 2 + 3 = 21. Păstrăm 2 şi trecem 1 la rezultat. Iar ultima adunare este: 9 + 2 = 11. Şi trecem 11 la rezultat. Adică avem: 9 + 99 + 999 + … + 999…9(100 cifre) = 111…11010 (101 cifre, din care 99 sunt cifre de 1 şi două sunt cifre de 0). Iar dacă adunăm şi cu 101 avem: 9 + 99 + 999 + … + 999…9(100 cifre) + 101 = 111…1 (101 cifre de 1).

Citeste si articolele:

You can leave a response, or trackback from your own site.

Adauga un comentariu