A șaptea dimensiune

• Numărul 257 are trei cifre distincte, care, puse în ordine inversă, formează numărul mai mare 752. Câte numere de 3 cifre au această proprietate? (Numerele să fie formate din 3 cifre distincte, care, puse în ordine inversă, să formeze un număr mai mare decât numărul iniţial.)

  Raspuns
  Numerele de trei cifre sunt de la 100 la 999 (900 de numere). Dacă prima cifră este 1, alegem ultima cifră 2, 3, …, 9 (dacă şi ultima cifră ar fi 1, prin inversare s-ar obţine numere egale) şi numărul format din cifrele puse în ordine inversă (răsturnatul numărului iniţial) va fi mai mare. Pentru prima cifră 1 şi ultima 2, cifra din mijloc poate fi 0, 3, 4, …, 9 (opt cazuri), deoarece am eliminat 1 şi 2, pentru ca numărul să fie format din cifre diferite. Adică pentru pentru prima cifră 1 şi ultima 2 avem 8 numere. Analog pentru prima cifră 1 şi ultima 3 avem încă 8 numere, adică pentru prima cifră 1 şi ultima cifră 2, 3, …, 9 avem 8 x 8 = 64 numere. Dacă prima cifră este 2, ultima cifră poate fi 3, 4, …, 9 şi mai avem 8 x 7 = 56 numere. Şi aşa mai departe avem: 8 x 6 = 48 (dacă prima cifră este 3), 8 x 5 (dacă prima cifră este 4), 8 x 4 (dacă prima cifră este 5), 8 x 3 (dacă prima cifră este 6), 8 x 2 (dacă prima cifră este 7), 8 x 1 (dacă prima cifră este 8). Adică numărul numerelor cu proprietatea cerută este 8 x 8 + 8 x 7 + … + 8 x 1 = 8 x (8 + 7 + … + 1) = 8 x 36 = 288.

• În câte submulţimi ale mulţimii {1, 2, 3, …, 12}, suma dintre cel mai mare şi cel mai mic element este 13?

  Raspuns
  Numărul submulţimilor unei mulţimi cu n elemente (n număr natural) este 2ⁿ. Mai trebuie precizat că într-o mulţime fiecare element se scrie o singură dată, iar ordinea în care se scriu elementele mulţimii nu contează. Pentru ca suma dintre cel mai mare şi cel mai mic element să fie 13, avem variantele: 13 = 12 + 1 = 11 + 2 = 10 + 3 = 9 + 4 = 8 + 5 = 7 + 6. Să luăm varianta 12 + 1, adică cel mai mic element 1, cel mai mare 12 şi suma lor 13. Dintre elementele rămase, 2, 3, …, 11, se pot alege oricare pentru a face parte din submulţime. De exemplu, {1, 2, 3, 12} este o submulţime a mulţimii date, iar {1, 5, 6, 7, 12} este o altă submulţime. Cu alte cuvinte, pe lângă 1 şi 12 putem avea alte elemente dintre numerele rămase. Iar aceste elemente sunt, de fapt, submulţimi ale mulţimii {2, 3, …, 11}. Numărul acestor submulţimi este 2¹⁰ = 1024, deoarece de la 2 la 11 avem 10 numere. Aplicând acelaşi raţionament, dacă cel mai mic element este 2 şi cel mai mare 11, avem 2⁸ = 256 submulţimi. Dacă cel mai mic element este 3 şi cel ami mare 10, avem 2⁶ = 64 submulţimi. Dacă cel mai mic element este 4 şi cel mai mare 9, avem 2⁴ = 16 submulţimi. Dacă cel mai mic element este 5 şi cel mai mare 8, avem 2² = 4 submulţimi. În sfârşit, dacă cel mai mic element este 6 şi cel mai mare 7, avem 2⁰ = 1, adică o submulţime. În final adunăm şi avem 1024 + 256 + 64 + 16 + 4 + 1 = 1365 de submulţimi.

• Un număr de 5 cifre este divizibil cu 3, 5 şi 8. Care este cea mai mică sumă posibilă a cifrelor acestui număr?

  Raspuns
  În general, un număr se divide cu 2ⁿ , unde n este un număr natural nenul, dacă ultimele n cifre ale numărului formează un număr care se divide cu 2ⁿ. Cum 8 = 2³, numărul se divide cu 8 dacă ultimele 3 cifre ale numărului formează un număr care se divide cu 8. Analog, un număr se divide cu 5ⁿ, unde n este un număr natural nenul, dacă ultimele n cifre ale numărului formează un număr care se divide cu 5ⁿ. (Pentru a demonstra cele două afirmaţii anterioare se foloseşte descompunerea numărului în baza 10.) Adică numărul se divide cu 5 dacă are ultima cifră (cifra unităţilor) 0 sau 5. În sfârşit, un număr se divide cu 3 dacă suma cifrelor numărului se divide cu 3. Legat de numărul din enunţ, pentru a rezolva problema divizibilităţii cu 8 şi 5, cât şi pentru a fi cea mai mică sumă posibilă a cifrelor, se aleg ultimele 3 cifre 0. Pentru prima cifră alegem 1, cea mai mică posibilă. A mai rămas de ales a doua cifră. Aceasta se alege astfel încât numărul să se dividă cu 3 şi suma cifrelor să fie cea mai mică. Este evident că a doua cifră trebuie aleasă 2. Numărul este 12.000, iar cea mai mică sumă posibilă a cifrelor acestui număr este 3.

Citeste si articolele:

• Intrebari de zgariat neuronii (VII)
• Intrebari de zgariat neuronii (VI)
• Intrebari de zgariat neuronii (V)
• Intrebari de zgariat neuronii (IV)
• Intrebari de zgariat neuronii (III)