Intrebari de zgariat neuronii (XI)

sâmbătă, aprilie 22, 2017 7:58
Posted in category Educatie

Matematica

  • Câte numere care nu sunt pătrate perfecte există între 100 şi 10.000?

    Raspuns
    Se observă că 100 şi 10.000 sunt pătrate perfecte (100 = 102, 10.000 = 1002). În acest caz, prin numere cuprinse între 100 şi 10.000 se înţeleg acele numere strict mai mari decât 100 şi strict mai mici decât 10.000. Numărul acestora este 10.000 – 100 – 1 = 9899. Pentru a afla numărul numerelor cuprinse între 100 şi 10.000 care nu sunt pătrate perfecte există două metode. I) Aflăm câte pătrate perfecte sunt între 100 şi 10.000 şi scădem numărul pătratelor perfecte din 9899. Pătratele perfecte cuprinse între 100 şi 10.000 sunt: 112, 122, …, 992. Numărul acestora este 99 – 10 = 89. Apoi 9899 – 89 = 9810 numere care nu sunt pătrate perfecte cuprinse între 100 şi 10.000. II) O altă metodă, mai dificilă, constă în aplicarea proprietăţii: Între pătratele perfecte consecutive n2 şi (n + 1)2 există exact 2n numere naturale care nu sunt pătrate perfecte. Aplicând această proprietate avem că între 102 = 100 şi 112 există 2×10 = 20 numere care nu sunt pătrate perfecte, între 112 şi 122 există 2×11 = 22 numere care nu sunt pătrate perfecte şi aşa mai departe, între 992 şi 1002 = 10.000 există 2×99 = 198 numere care nu sunt pătrate perfecte. Aşadar avem suma 2×10 + 2×11 + … + 2×99 = 2(10 + 11 + … 99) = 2(10 + 99)x90/2 = 9810 numere care nu sunt pătrate perfecte cuprinse între 100 şi 10.000.
  • Care este penultima cifra a numarului 112004?

    Raspuns
    Dacă n este un număr natural nenul, ultima cifră a puterii 11n este 1. Pentru penultima cifră, să luăm câteva puteri ale lui 11: 111 = 11, 112 = 121, 113 = 1331, 114 = 14641 etc. Se observă că penultima cifră creşte cu 1 odată cu mărirea cu 1 a exponentului. Astfel, 119 va avea penultima cifră 9, iar 1110 va avea penultima cifră 0, după care 1111 va avea penultima cifră din nou 1 etc. Cu alte cuvinte, pentru a afla penultima cifră a lui 11n, aflăm restul împărţirii lui n la 10. Dacă restul este 1 (numărul are forma 10p + 1), penultima cifră a lui 11n este 1, ca la 1111, dacă restul este 2 (numărul are forma 10q + 2), penultima cifră a lui 11n este 2, ca la 112 etc. Cum 2004 are forma 10k + 4 (restul împărţirii la 10 este 4), penultima cifră a lui 112004 este 4.
  • In cate moduri poti alege un patrat negru si unul alb pe o tabla de sah, astfel incat cele doua sa nu se afle pe acelasi rand, coloana sau diagonala?

    Intrebarea a aparut la editia din 2005 a Concursului european de matematica aplicata ‘Cangurul’. Se cere numarul de perechi de patrate de pe o tabla de sah 8 x 8, unul alb si unul negru, astfel incat cele doua patrate sa nu se afle pe acelasi rand, pe aceeasi coloana sau pe aceeasi diagonala.

    Raspuns
    În acest caz, se caută numarul perechilor ordonate (a; b), în care a este un pătrat negru şi b un pătrat alb pe o tablă de şah cu 64 de pătrăţele (pătrate). Dacă alegem un pătrat negru, pe acesta îl facem pereche cu un pătrat alb. Avem 32 de pătrate albe, dar le eliminăm pe cele aflate pe aceeaşi linie, aceeaşi coloană şi aceeaşi diagonală cu pătratul negru. Cum pe diagonală avem numai pătrate negre, eliminăm patratele albe de pe aceeaşi linie sau coloană cu patratul negru. Pentru fiecare pătrat negru avem de eliminat 8 pătrate albe şi mai rămân 32 – 8 = 24 patrate albe. În felul acesta, avem 32 (numărul pătratelor negre) x 24 (numarul pătratelor albe nesituate pe aceeaşi linie, aceeaşi coloană sau aceeaşi diagonală cu pătratul alb) = 768 (numărul de perechi cerut).
  • Cate patrate sunt pe o tabla de sah?

    Raspuns
    Patratele pot fi formate dintr-o patratica a tablei, 4 patratele, 9 patratele, …, 64 patratele (intreaga tabla). Normal ca cele 4, 9, 16, 25, 36 sau 49 de patratele trebuie sa fie alaturate. Avem urmatoarele optiuni (dimensiunea patratului pozitii posibile)
    • 1×1 64 (de 8 ori cate 8 – pe fiecare linie)
    • 2×2 49 (de 7 ori cate 7 – la fiecare 2 linii)
    • 3×3 36 (de 6 ori cate 6 – la fiecare 3 linii)
    • 4×4 25 (de 5 ori cate 5 – la fiecare 4 linii)
    • 5×5 16 (de 4 ori cate 4 – la fiecare 5 linii)
    • 6×6 9 (de 3 ori cate 3 – la fiecare 6 linii)
    • 7×7 4 (de 2 ori cate 2 la fiecare 7 linii)
    • 8×8 1 (tabla completa de sah)
    • total 204

Citeste si articolele:

You can leave a response, or trackback from your own site.

Adauga un comentariu