Odiseea cautarii valorii numarului Pi

sâmbătă, martie 26, 2016 16:11
Posted in category Educatie

Odiseea cautarii valorii numarului PiToți cei care am trecut prin școală, și am mai și învățat, știm că se notează cu Pi (π) raportul dintre lungimea unui cerc și diametrul său. Cum valoarea acestui raport nu depinde de raza cercului, numărul Pi se mai numeste constanta cercului. Radio 21 prezenta într-o zi un concurs cu întrebări din diverse domenii. La un moment dat apare întrebarea “Care este valoarea lui Pi?” O voce feminină afirmă că “valoarea lui Pi este 3,14” iar prezentatorul concursului era încântat de răspuns. Numai că răspunsul era greșit matematic. Valoarea lui Pi nu este 3,14, ci 3,14 este o valoare aproximativă a constantei cercului, ceea ce nu este același lucru. Probabil realizatorul concursului o fi fost vreun retardat ca elev, din categoria celor care mai cred și astăzi că matematica înseamnă doar niște calcule extrem de monotone, uneori. Dar să revenim la numărul Pi. De exemplu, la lansarea în spatiu a unei nave este folosită pentru Pi o aproximare ce cuprinde minim 10 zecimale, pentru a fi siguri că eroarea este suficientă de mică pentru a nu avea probleme. Numărul Pi este irațional (nu se poate reprezenta printr-o fracție de forma a/b) și are o infinitate de zecimale care nu se repetă periodic. Iată un scurt istoric al căutării valorii acestui număr despre care s-au scris mii de cărți.

Numărul Pi este folosit pentru a calcula lungimea unui cerc (2πr, unde r este raza cercului), aria unui disc (πr2, r fiind și aici raza discului), aria și volumul unui cilindru circular drept, aria și volumul uneiu sfere etc.

Suntem în înconjurați de corpuri rotunde, așa încât căutarea unor valori aproximative cât mai apropiate de numărul Pi a devenit o necesitate. Toți cei care se ocupă de proiectarea și constructia corpurilor rotunde sunt extrem de atenti la valorile aproximative ale numărului Pi.

La începuturile istoriei umanității, oamenii foloseau valori grosiere pentru Pi, cum ar fi 3 sau 3,16 sau 3,12 nerealizând cât de departe sunt de valoarea reală a numărului Pi. Însă căutarea valorii numărului Pi a permis apariția și dezvoltarea unor concepte matematice precum limite sau algoritmi iterativi, noțiuni ce vor deveni fundamentale pentru noi ramuri ale matematicii.

Primele aproximări ale numărului Pi, întâlnite în scrierile vechi, s-au folosit în Babilon (1900 – 1600 i. Hr.): 3,125 și în Egiptul antic (1650 i.Hr.): 3,1605. Deși ambele aproximări începeau cu 3,1, adică nu erau foarte, foarte departe de valoarea reală a numărului Pi, acestea nu reprezentau aproximări suficient de bune pentru Pi.

Prima abordare riguroasă pentru a găsi valoarea exactă a numărului Pi s-a bazat pe aproximări geometrice. Astfel, în jurul anului 250 i. Hr., matematicianul (și fizicianul) grec Arhimede a încercat aflarea lui Pi calculând perimetrele unor poligoane regulate înscrise și circumscrise unui cerc. În acest fel, numărul Pi putea fi încadrat între două numere raționale și apropiate. Arhimede a găsit, limitându-se la două zecimale, valoarea lui Pi de 3,14.

În jurul anului 150 (d. Hr.), Ptolomeu, om de știință grec ce avea cetățenie romană, folosind aceeași metodă ca și Arhimede, găsește pentru Pi valoarea de 3,1416.

Fără să știe de rezultatele lui Arhimede și Ptolomeu, în jurul anului 265 (d. Hr.), matematicianul chinez Liu Hui a creat un algoritm iterativ, bazat tot pe poligoane înscrise și circumscrise unui cerc, algoritm care dădea pentru Pi patru cifre exacte.

În anul 480 (d. Hr.), un alt matematician chinez, Zu Chongzhi, a perfecționat metoda lui Liu Hui și a obținut valoarea lui Pi cu șapte cifre exacte.

În anul 1630, astronomul austriac Christoph Grienberger, folosind aceeași metodă a poligoanelor, a obținut pentru Pi o valoare exactă cu 38 de cifre. Este cea mai precisă valoare a lui Pi aflată manual.

Dezvoltarea domeniului seriilor infinite, în secolele al XVI-lea și al XVII-lea, a îmbunătățit foarte nult capacitatea oamenilor de a se apropia de valoarea reală a numărului Pi. Prima descriere a unei serii infinite, care putea fi folosită pentru a calcula valoarea lui Pi, a fost a matematicianului indian Nilakantha Somayaji, în jurul anului 1530.

În anul 1665, cunoscutul matematician și fizician englez Isaac Newton a folosit o serie infinită și a calculat valoarea lui Pi cu 15 cifre exacte. Cam în aceeași perioadă, Gottfried Wilhelm Leibniz calcula valoarea lui Pi tot cu 15 cifre exacte, acesta fiind un record pentru acea perioadă istorică. Acest record de 15 cifre exacte este doborât în 1699, atunci când se ajunge la valoarea lui Pi cu 71 de cifre exacte. Și acest record cade în 1706, atunci când se află Pi cu 100 de cifre exacte, pentru ca în anul 1956 să se ajungă la valoarea lui Pi cu 620 de cifre exacte. Este cea mai bună aproximare a numărului Pi realizata fără ajutorul calculatorului.

În paralele cu aceste calcule, se faceau cercetări pentru a stabili natura numărului Pi. Astfel, matematicianul elvetian Johann Heinrich Lambert a dovedit că Pi este un număr irațional. Aceasta se întâmpla în secolul al XVIII-lea.

In 1882, matematicianul german Ferdinand von Lindemann a dovedit că Pi nu poate solutia unei ecuații algebrice rationale (cum ar fi x2= 10 sau 9x4 – 240x2 + 1492 = 0).

În 1946, ENIAC, primul calculator electronic de uz general, calculat 2.037 cifre exacte ale Pi în 70 de ore. Cel mai recent calcul a găsit mai mult de 13 miliarde de cifre exacte petru Pi în 208 de zile.

Potrivit matematicienilor Jörg Arndt și Christoph Haenel 39 de cifre sunt suficiente pentru a efectua majoritatea calculelor cosmologice, pentru că precizia necesară pentru a calcula circumferința universului observabil este în intervalul diametrului unui atom. Prin urmare, mai multe cifre pentru Pi nu sunt de utilitate practică în calcule. Mai mult de 39 de cifre pentru valoarea lui Pi sunt folosite pentru a testa puterea supercalculaotoarelor sau a verifica algoritmi de analiză numerică.

Există, de asemenea, metode distractive și simple pentru estimarea valorii Pi. Una dintre cele mai cunoscute este o metodă numita „Monte Carlo”. Metoda este destul de simplă. Pentru a încerca acasă, desenați un cerc înscris într-un pătrat, pe o bucată de hârtie. Imaginați-vă că laturile pătratului sunt de lungime 2, astfel încât aria sa este 4; diametrul cercului este, prin urmare, 2, iar aria sa este Pi. Raportul dintre ariilor cercului și pătratului este Pi/4 sau aproximativ 0,7854. Acum, închideți ochii și puneți cu pixul puncte la întâmplare în interiorul pătratului. După aceea, aflați valoarea raportului dintre numărul punctelor din interiorul cercului și celor din interiorul pătratului (toate), apoi această valoare o înmulțiți cu 4 și ați aflat valoarea aproximativă a numărului Pi. Cam așa făceau oamenii de-a lungul veacurilor.

Citeste si articolele:

You can leave a response, or trackback from your own site.

6 Responses to “Odiseea cautarii valorii numarului Pi”

  1. Grigore Gheba, matematicianul genial luat prizonier de rusi si interzis de comunisti | A șaptea dimensiune says:

    aprilie 6th, 2016 at 15:44

    […] Odiseea cautarii valorii numarului Pi […]

  2. Cartile copilariei | A șaptea dimensiune says:

    aprilie 23rd, 2016 at 10:18

    […] Odiseea cautarii valorii numarului Pi […]

  3. Cele 17 ecuatii care au schimbat lumea | A șaptea dimensiune says:

    aprilie 26th, 2016 at 10:47

    […] Odiseea cautarii valorii numarului Pi […]

  4. Povestile nemuritoare ale Matematicii (IV) | A șaptea dimensiune says:

    iunie 7th, 2016 at 15:31

    […] Odiseea cautarii valorii numarului Pi […]

  5. Romania este o necunoscuta pentru Editura Didactica si Pedagogica | A șaptea dimensiune says:

    iunie 11th, 2016 at 13:39

    […] Odiseea cautarii valorii numarului Pi […]

  6. In SUA, albii au ajuns minoritari | A șaptea dimensiune says:

    septembrie 19th, 2016 at 18:25

    […] Odiseea cautarii valorii numarului Pi […]

Adauga un comentariu

*

Ro2.ro - Promovare si statistici web Free PageRank Checker Servicii SEO