Farmecul discret al Matematicii (II)

vineri, martie 17, 2017 16:22
Posted in category Educatie

MatematicaDespre numere prime

Un număr natural se numeşte prim dacă are exact doi divizori (1 şi el însuşi). Numarul 1 nu este nici prim nici compus, iar 2 este singurul număr şi prim şi par. Primele elemente din şirul numerelor prime sunt 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, … Se cunoaşte faptul că mulţimea numerelor prime este infinită, dar nu s-a descoperit o modalitate eficientă de a determina dacă un număr foarte mare este sau nu prim. De exemplu, pentru a stabili dacă numărul 96649999 este prim sau compus, este necesar să-l împărţim pe rând la 7, 11, 13, … dar abia când ajungem la numărul 9697 constatăm că acesta este un divizor al numărului dat: 96649999 = 9697 x 9697, deci este un număr compus. Pentru a ajunge la această concluzie ar fi necesare aproape 1200 de împărţiri, ceea ce nu este uşor nici cu un calculator. Cu atât mai greu este de stabilit natura unor numere de ordinul mililiardelor sau trilioanelor, în afara unor cazuri particulare. Se ştie, de exemplu, că numerele 1111111 … 111 (23 de cifre) sau 24443 – 1 sunt prime, însă demonstraţiile sunt dificile. Nu se cunoaşte, de exemplu, dacă numărul 2217 + 1 (care are 39457 cifre) este prim.
O altă problemă nerezolvată de matematicieni este stabilirea numărului de numere prime mai mici decât un număr dat. Se ştie, de exemplu, că există 25 numere prime mai mici decât 100, 168 numere prime mai mici decât 1000, 1229 numere prime mai mici decât 10000, 78498 numere prime mai mici decât 1000000. Însă nu este cunoscută vreo metodă precisă de a găsi numărul de numere prime mai mici decât un număr oricât de mare, deşi mulţi matematicieni celebri s-au chinuit de-a lungul timpului să găsească o astfel de formulă. (Moscaliuc Alexandru)
Şi totuşi, care este cel mai mare număr prim cunoscut până azi? Întrebarea, pusă aici, a primit următorul răspuns:
Cel mai mare număr prim cunoscut este 243.112.609 – 1, număr care scris în baza 10 are aproape 13 milioane de cifre. Acest număr a fost descoperit în 2008, iar descoperitorii au primit, în 2009, un premiu de 100.000 dolari. Mai multe la următorul link http://en.wikipedia.org/wiki/Largest_known_prime_number.
Iată şi un comentariu interesant de pe site-ul amintit mai sus.
Numerele prime erau privite cîndva ca avînd un interes pur teoretic, fără vreo aplicație utilă. Între timp lucrurile s-au schimbat radical. Există ramuri ale ingineriei, deci de interes pur practic, care nu se pot descurca fără cunoștințe despre numerele prime, ca de exemplu criptologia (fără de care nu funcționează protejarea și transmiterea a informațiilor secrete) sau generarea numerelor aleatoare (fără de care nu se pot face anumite calcule, cu aplicații în domenii foarte diverse).
Nu știu dacă găsirea unor numere prime cît mai mari are vreo utilitate practică acum. Dar știu că foarte multe descoperiri făcute din interes pur intelectual au ajuns să aibă aplicații atît de importante încît lumea de azi n-ar mai fi ceea ce este dacă nu le-am avea. Genetica, radioactivitatea, telescopul, motoarele termice, radioul, chimia, tranzistorul, laserul, calculatorul, razele X, internetul, toate astea au fost inițial niște „jucării” intelectuale ale unor ciudați; probabil la început și roata, focul, șurubul etc. au fost tot niște amuzamente ale cuiva. Azi nu mai putem trăi fără ele. Civilizația umană a învățat astfel că utilitatea imediată a unei invenții sau a unei descoperiri nu este un criteriu pentru a o prețui sau disprețui.
Viitorul la rîndul lui se naște din jucăriile intelectuale ale prezentului. Ele trebuie protejate și încurajate, nu desconsiderate. Sigur, totul trebuie făcut cu măsură, dar am impresia că deocamdată greșim în sensul că nu atribuim destulă valoare cercetării fundamentale.

Despre permutări

Un rol aparte în matematică îl au mulţimile ordonate. O mulţime este ordonată dacă este luată împreună cu o ordine bine determinată de dispunere a elementelor sale. Ceea ce ne interesează este în câte moduri se pot ordona elementele unei mulţimi. De exemplu, în câte moduri se pot aşeza 5 cărţi pe raftul unei biblioteci, dacă tinem cont şi de ordinea în care aşezăm carţile? Răspunsul este dat de noţiunea de ‘permutare’. Dacă n este un număr natural nenul, numărul permutărilor de n elemente se notează Pn şi se citeşte ‘permutări de n elemente’, iar formula de calcul este Pn = n!, unde n! este notaţia pentru produsul primelor n numere naturale nenule, notatie care se citeşte ‘n factorial’. Adică avem n! = 1 x 2 x 3 x … x n, iar pentru permutări de n elemente avem formula de calcul Pn = 1 x 2 x 3 x … x n. Una din aplicaţiile cele mai întâlnite ale acestei noţiuni matematice o reprezintă numărul numerelor care se pot obţine cu anumite cifre. Deoarece scrierea numerelor cu cifre arabe este poziţională (contează poziţia cifrei în număr), este importantă şi ordinea cifrelor într-un număr. De exemplu, putem afla câte numere diferite se pot forma cu cifrele 0, 1, 2, …, 9, astfel ca orice număr să conţină toate cifrele şi doar o singură dată fiecare cifră. Cu cele 10 cifre s-ar forma 10! numere, dar nu avem numere cu prima cifră 0. Dacă fixăm 0 prima cifră, avem pentru celelalte cifre 9! posibilităţi de ordonare, adică numărul numerelor de 10 cifre, ce cuprind o singură dată fiecare cifră de la 0 la 9, dar fără 0 prima cifră, este 10! – 9! = 1 x 2 x 3 x … x 10 – 1 x 2 x 3 x … x 9 = (scoatem 1 x 2 x 3 x … x 9 factor comun) 1 x 2 x 3 x … x 9 (10 – 1) = ) 1 x 2 x 3 x … x 92 = 3.265.920. Prin convenţie, mulţimea vidă se poate ordona într-un singur mod, adică avem P0 = 1, adică se defineşte 0! = 1.

Despre numere iraţionale şi nu numai

Inexistentei unor valori exacte ale numerelor irationale nu ii corespund anumite limitari in lumea fizica? Care ar fi acestea? (Intrebarea a aparut aici.)
Un raspuns
Vezi tu, facem mereu aceeasi greseala: incercam sa descriem Universul dupa canoanele noastre omenesti ! De aici si povestile religioase, tot felul de pseudo-teorii paranormale, etc. Dar aici se incriu si uneltele noastre stiintifice!
Universul exista in forma data, nu-i „pasa” catusi de putin de eforturile noastre de a-l explica, de a-i gasi un sens, un scop etc.
Mai la obiect, matematica (ca si celelalte stiinte exacta derivate) este o forma de a APROXIMA caracteristicile Universului! Nici macar prin matematica nu putem avea pretentia ca am descris 100% corect realitatea obiectiva, ci o aproximare suficient de buna pentru perceptia noastra umana!
Mai mult, nu este vorba de matematica, ci de matematici! „Matematicile” – ca si alte stiinte, au evoluat si ele, in decursul timpului au fost inventate efectiv noi matematici, cum este de pilda calculul diferential – atat de util in fizica!
Similar, in noile eforturi de intelegere a mecanicii cuantice, se simte nevoia unei noi matematici, care sa descrie fenomenele intr-un univers multidimensional. Cum se face asta ? Empiric, prin aproximari din ce in ce mai bune!
Sper ca am inteles bine la ce te gandeai, in speta, numerele irationale sunt o aproximare matematica utila in descrierea unor fenomene fizice, DAR ele insele nu pot aduce vreo limitare lumii fizice pe care incearca sa o descrie!

Comentariul autorului intrebarii
Raspunsul tau (de la catedra, dar hai ca am lamurit-o pe asta) ma suspecteaza de sugestii obscure sau ezoterice. Eu nu afirm in textul intrebarii ca numerele irationale „aduc limitari” ci corespund unor limitari din lumea fizica. Uite ce urmaream, cred ca ti se va parea interesant:
Ma gandeam la numerele irationale si am realizat ca m-am multumit cu definitia lor formala (nu se pot exprima ca raport de intregi), fara sa ma tulbure vreodata posibile semnificatii ale lor in lumea reala. Daca ele nu exista ca valori definite exact (cum corect remarca Nelu), ce anume, corespunzator, nu poate exista in lumea reala? Am facut apel la vechii greci si mi-am reamint ca ei (pitagoreicii) le-au descoperit, ca urmare a descoperirii incomensurabilitatii unor lungimi. De exemplu, raportul dintre diametrul si perimetrul unui cerc, sau raportul dintre ipotenuza si cateta unui triunghi dreptunghic isoscel, nu pot fi scrise ca fractii ireductibile, cu intregi la numarator si numitor adica tocmai ce au definit numarul irational. O alta formulare, mai intuitiva, a definitiei este: nu exista o lungime, oricat de mica, ce se cuprind de un numar intreg de ori in cele 2 segmente aflate intr-un raport nonrational. Daca ar exista, atunci raportul lor s-ar putea scrie ca p/q, p,q intregi. Pana aici e bine, dar in momentul acela am realizat ca in natura exista o distanta minima care nu mai poate fi divizata, acceptata ca fiind h/2 (multipli semiintregi a constante Plank). Consecinta imediata este ca la nivel cuantic nu sunt posibile aranjari spatiale sau traiectorii ce implica numere irationale. De exemplu, o orbita circulara este imposibila, pentru ca obiectul care ar „vrea” sa o parcurga ar trebui ca, la inchiderea cercului, sa fractioneze nefractionabilul. Si exemple se mai gasesc. Poate sa fie banal, n-am citit chestiile astea nicaieri, dar pe mine m-au frapat. Iar cel mai mult m-a frapat capacitatea ratiunii umane de a crea modele abstracte care descriu atat de bine realitati obiective independente de noi. Uneori imi vine sa sa spun ca un lucru trebuie sa existe doar pentru ca a fost rational dedus de om.

Citeste si articolele:

You can leave a response, or trackback from your own site.

3 Responses to “Farmecul discret al Matematicii (II)”

  1. Farmecul discret al Matematicii (III) | A șaptea dimensiune says:

    ianuarie 10th, 2019 at 19:39

    […] Farmecul discret al Matematicii (II) […]

  2. Intrebari de zgariat neuronii (II) | A șaptea dimensiune says:

    ianuarie 11th, 2019 at 11:38

    […] Farmecul discret al Matematicii (II) […]

  3. Farmecul discret al Matematicii (IV) | A șaptea dimensiune says:

    martie 13th, 2019 at 20:49

    […] Farmecul discret al Matematicii (II) […]

Adauga un comentariu