A șaptea dimensiune

• Puteţi enunţa afirmaţii matematice nedemonstrate încă?

  Raspuns
  Afirmatii matematice nedemonstrate sunt, de exemplu, toate axiomele aritmeticilor, geometriilor sau algebrelor, toate enunturile care definesc un tip sau altul de structuri, spatii, transformate etc. Un alt tip de afirmatii nedemonstrate sunt toate conjecturile, ca de exemplu celebra conjectura a lui Goldbach : orice numar par poate fi exprimat ca suma a cel putin doua numere prime. Unele conjecturi au devenit teoreme abia dupa ce au fost demonstrate, ex. Marea Teorema a lui Fermat, care spune ca ecuatia xⁿ+yⁿ=zⁿ, x,y,z,n naturale, nu are solutii intregi pentru n>2. Exemple de conjecturi sau probleme nerezolvate (afirmatii nedemonstrate) sunt foarte multe, faimoasa lista a lui Hilbert si multe, multe altele. Ceea ce este interesant in legatura cu conjecturile este insa faptul ca ele reprezinta adevaruri (in masura in care nu s-a gasit un contraexemplu care sa le invalideze) care nu sunt deduse inauntrul sistemului. Kurt Godel a demonstrat in teorema sa a incompletitudinii ca sistemele logice de tip axiomatic sunt incomplete, iar existenta conjecturilor este o ilustrare a incompletitudinii. Conform lui Godel, completarea lor nu se poate face altfel decat prin restrangerea consistentei. Pot, de exemplu, sa afirm ceva in legatura cu matematica, un lucru care nu poate fi demonstrat, dar care, pana acum s-a adeverit: Orice formalism matematic devine, mai devreme sau mai tarziu, un model abstract apt sa descrie fenomene fizice.

• Fie numerele prime a, b, c, cu a>b>c. Daca a+b+c=78 si a-b-c=40, cat este abc?

  Raspuns
  Subiectul a fost propus la Concursul international de matematica aplicata Cangurul (editia imi scapa), de catre cineva din Suedia, cred. S-a reprosat faptul ca enuntul are informatii inutile. Asa-i, dar am preferat sa pastrez forma originala a enuntului. Daca adunam membru cu membru relatiile a+b+c=78 (1) si a-b-c=40 (2), obtinem 2a=118, de unde a=59. Inlocuind a cu 59 in relatia (1), avem 59+b+c=78|-59 => b+c=19 (3). Numerele prime care verifica relatia (3) sunt b = 17 si c = 2. Adica abc = 59x17x2 = 2006.

• Daca (a+b)/(b+c)=5/6 si (b+c)/(a+c)=9/8, cat este (a-c)/(a-b)?

  Raspuns
  6a + 6b = 5b +5c (conform primului raport), 8b + 8c = 9a + 9c (al doilea raport) => 6a + b = 5c, 9a – 8b = -c pe acestea 2 le scadem si => -3a + 9b = 6c |:3 => -a + 3b = 2c | (-1), a – 3b = -2c, 3a – 3b -2a = -2c, 3(a-b) = 2(-c+a) => (a-c)/(a-b) = 3/2.

• Care este cel mai mare numar natural prin care poate fi simplificata o fractie de forma (5a + 7)/(2a – 3), unde a este un numar natural?

  Raspuns
  Pentru a afla cel mai mare număr întreg cu care se poate simplifica fracţia (5a + 7)/(2a – 3), căutăm cel mai mare divizor comun al numerelor 5a + 7 şi 2a – 3. Fie d un divizor comun al celor două numere, adică d/(5a + 7) şi d/(2a – 3) (1). Folosind proprietăţile relaţiei de divizibilitate, avem, din relaţiile (1): d/(5a + 7)*2, d/(2a – 3)*5 (2). Din (2) obţinem: d/(5a + 7)*2 – (2a – 3)*5 (3). După efectuarea calculelor în (3), avem: d/29. Adică, dacă d este natural, d = 1 sau d = 29. Cel mai mare este, evident, 29. Cu alte cuvinte, cel mai mare număr întreg cu care se poate simplifica fracţia (5a + 7)/(2a – 3) este 29.

• Dacă a x b = 80, b x c = 120, c x a = 150, cât este a + b + c?

  Raspuns
  În primul rând, este clar că nici unul din numere nu poate fi zero, altfel două sau cele trei produse ar fi zero. Dacă numerotăm egalităţile, a x b = 80 (1), b x c = 120 (2), c x a = 150 (3), împărţind, de exemplu, egalităţile (1) şi (2) membru cu membru, obţinem a/ c = 2/3, de unde a = 2/3 x c (4). Înlocuind a dat de egalitatea (4) în relaţia (3), obţinem 2/3 x c² = 150, de unde avem, prin înmulţirea ultimei egalităţi cu 3/2, c² = 225, iar de aici c = 15 (fiind vorba de clasa a V-a, nu luăm în considerare soluţia negativă – 15). Înlocuind c = 15 în egalitatea (4), obţinem a = 10. Înlocuind a = 10 în prima egalitate, de exemplu, obţinem b = 8. Aşadar numerele sunt a = 10, b = 8, c = 15.

Citeste si articolele:

• Intrebari de zgariat neuronii (III)
• Intrebari de zgariat neuronii (II)
• Intrebari de zgariat neuronii (I)
• Farmecul discret al Matematicii (V)
• Farmecul discret al Matematicii (IV)