Intrebari de zgariat neuronii (IX)

marți, aprilie 18, 2017 8:31
Posted in category Educatie

Matematica

  • Ce număr şterge Paul din 10 numere naturale consecutive scrise pe tablă, dacă suma celor rămase este 2006?

    Raspuns
    Dacă notăm cu n cel mai mic din cele 10 numere consecutive, numerele pot fi notate n, n + 1, n + 2, …, n + 9 (dacă notăm cu p cel mai mare din cele 10 numere consecutive, numerele s-ar putea nota p – 9, p – 8, …, p). Suma celor 10 numere consecutive este n + (n + 1) + (n + 2) + … + n + 9 = 10n + 45. Cum Paul şterge unul din numere, rămânând 9, suma celor 9 rămase are forma 9n + y, unde pe y nu-l cunoaştem (deocamdată). Aşadar avem, cu datele din enunţul întrebării, 9n + y = 2006. Oricum, y cel mai mic posibil este 36 (dacă Paul şterge cel mai mare număr din cele 10, adică n + 9) şi y cel mai mare posibil este 45 (dacă Paul şterge cel mai mic număr din cele 10, adică n). Aşadar, 36 < y < 45. Cum 9n + y are forma ‘multiplu de 9 (9n) plus un alt număr’, vom încerca să scriem şi 2006 în această formă. Astfel, avem 2006 = 9 x 222 + 8 = 9 x 221 + 17 = 9 x 220 + 26 = 9 x 219 + 35 = 9 x 218 + 44 = … Dintre formele anterioare, alegem 2006 = 9 x 218 + 44, deoarece 36 < 44 < 45. Avem acum 9n + y = 9 x 218 + 44, de unde obţinem că n = 218 (numărul cel mai mic din cele 10), iar din faptul că y = 44, obţinem că numărul pe care l-a şters Paul este n + 1 = 218 + 1 = 219. În concluzie, cele 10 numere naturale consecutive sunt 218, 219, …, 227, iar Paul a şters numărul 219. Verificare: 218 + 220 + … + 227 = 2006.
  • Care dintre următoarele numere este mai mare: a) 2006 x 2006; b) 2005 x 2007; c) 2004 x 2008; d) 2003 x 2009; e) 2002 x 2010?

    Raspuns
    Dacă notăm 2006 = n, avem 2005 = n – 1, 2007 = n + 1, 2004 = n – 2, 2008 = n + 2, 2003 = n – 3, 2009 = n + 3, 2002 = n – 4, 2010 = n + 4. Cu aceste notaţii, cele 5 produse se pot scrie: 2006 x 2006 = n x n = n2, 2005 x 2007 = (n – 1)(n + 1) = n2 – 1, 2004 x 2008 = (n – 2)(n + 2) = n2 – 4, 2003 x 2009 = (n – 3)(n + 3) = n2 – 9, 2002 x 2010 = (n – 4)(n + 4) = n2 – 16. Vom demonstra că n2 > n2 – 1. Analog se arată că n2 > n2 – 4, n2 > n2 – 9, n2 > n2 – 16. Presupunem că n2 > n2 – 1. Scăzând n2 din ambii membri ai inegalităţii anterioare, se obţine inegalitatea 0 > – 1, care este adevărată. Conform logicii matematice, dacă obţinem ceva adevărat, printr-un raţionament corect, am plecat de la ceva adevărat (adevărat –> adevărat), adică inegalitatea n2 > n2 – 1 este adevărată. În concluzie, cel mai mare număr este n2 = n x n = 2006 x 2006.
  • Care este ultima cifră nenulă a produsului primelor 100 de numere întregi pozitive?

    Raspuns
    Produsul 1 x 2 x … x 100 se poate scrie în altă ordine, datorită comutativităţii şi asociativităţii înmulţirii. Astfel avem 1 x 2 x … x 100 = (10 x 20 x … x 90 x 100) x (1 x 11 x 21 x … x 91) x … (9 x 19 x … x 99), adică 10 grupe, în fiecare grupă fiind numere care au aceeaşi ultimă cifră. Dacă notăm u(n) ultima cifră a numărului n, avem u(10 x … x 100) = 0, această grupă putând fi eliminată din calcul, deoarece ne interesează ultima cifră nenulă. Pentru celelalte 9 grupe avem: u(1 x … 91) = 1, u(5 x … 95) = 5, u(6 x … 96) = 6, deoarece un număr care are ultima cifră 1, 5 sau 6, ridicat la orice putere se obţine un număr care are ultima cifră 1, 5, respectiv 6. Din cele 6 grupe rămase, avem: u(4 x … x 94) = 6, deoarece un număr ce are ultima cifră 4 ridicat la o putere pară se obţine un număr ce are ultima cifră 6, iar în produs avem 10 factori; la fel u(9 x … x 99) = 1, deoarece un număr ce are ultima cifră 9 ridicat la un exponent par se obţine un număr ce are ultima cifră 1. Şi au mai rămas patru grupe. La acestea avem: u(2 x … x 92) = 4, deoarece u(24n+2) = u(22) = 4, iar 10 = 4×2+2; la fel u(3 x … x 93) = u(32) = 9, u(7 x … x 97) = u(72) = 9, u(8 x … x 98) = u(82) = 4. Din cele nouă grupe, eliminăm grupa cu ultima cifră 5 împreună cu o grupă formată din numere pare, de exemplu cea cu ultima cifră 2, deoarece produsul lui 5 cu un număr par va conduce la încă un zero la rezultat, cifră care nu ne interesează. Eliminăm şi grupele care au ultima cifră 1, deoarece 1 este element neutru la înmulţire. În final, avem u(1 x 2 x … x 100) = u(6 x 6 x 9 x 9 x 4) = 4.
  • S-au scris, unul după altul, toate numerele întregi strict pozitive. Care este cifra situată pe locul al 1993-lea?

    Raspuns
    Numerele întregi strict pozitive sunt 1, …, 9, 10, …, 99, 100, … . De la 1 la 99 sunt 99 de numere, iar ele cuprind 1×9 + 2×90 = 189 de cifre. Adică pe locurile 188 şi 189 sunt cifre de 9, de la numărul 99. De la locul 190 încolo avem cifre provenind de la numere de trei cifre (100, 101, …). Pentru a afla numărul de locuri rămase, efectuăm scăderea 1993 – 189 = 1804. Împărţind numărul de locuri rămas la 3 (numărul cifrelor dintr-un număr de la 100 la 999), avem 1804 : 3 = 601 (rest 1). Adică pe următoarele 1803 locuri avem 100, 101, 102, …, 700 (601 numere), iar pe locul 1804 rămas, adică pe locul al 1993-lea în şir este cifra 7, prima din următorul număr (701).

Citeste si articolele:

You can leave a response, or trackback from your own site.

One Response to “Intrebari de zgariat neuronii (IX)”

  1. Intrebari de zgariat neuronii (X) | A șaptea dimensiune says:

    ianuarie 12th, 2019 at 14:39

    […] Intrebari de zgariat neuronii (IX) […]

Adauga un comentariu