Intrebari de zgariat neuronii (VII)

vineri, aprilie 14, 2017 14:21
Posted in category Educatie

Matematica

  • Care este rezultatul calculului 9 + 99 + 999 + … + 999…9(100 cifre) + 101?

    Raspuns
    Ne vom ocupa întâi de suma 9 + 99 + 999 + … + 999…9 (100 cifre). Este clar că avem de adunat o sută de numere, primul număr format dintr-o cifră de 9, al doilea din două cifre de 9 şi aşa mai departe, ultimul dintr-o sută de cifre de 9. Adunăm întâi cifrele unităţilor. Avem de adunat 100 de cifre de 9. Dar cum adunarea repetată este înmulţire, în loc să adunăm de o sută de ori cifra 9, facem 9 x 100 = 900. Păstrăm 90 şi trecem la rezultat 0. Mergem la adunarea cifrelor zecilor. Aplicând acelaşi raţionament, avem 9 x 99 + 90(de la păstrare) = 981. Păstrăm 98 şi trecem la rezultat 1. La suma cifrelor sutelor avem: 9 x 98 + 98(de la păstrare) = 980. Păstrăm 98 şi trecem 0 la rezultat. La suma cifrelor miilor avem: 9 x 97 + 98(de la păstrare) = 971. Păstrăm 97 şi trecem 1 la rezultat. La suma cifrelor zecilor de mii avem: 9 x 96 + 97(de la păstrare) = 961. Păstrăm 96 şi trecem 1 la rezultat. La suma cifrelor sutelor de mii avem: 9 x 95 + 96(de la păstrare) = 951. Păstrăm 95 şi trecem 1 la rezultat. La suma cifrelor milioanelor avem: 9 x 94 + 95(de la păstrare) = 9 x 94 + 94 x 1 + 1 = 94 x (9 + 1) + 1 = 94 x 10 + 1 = 940 + 1 = 941. Păstrăm 94 şi trecem 1 la rezultat. Se observă că la rezultat se trece doar cifra 1. Şi aşa vom avea până la sfârşitul adunării. De exemplu, penultima adunare arată aşa: 9 x 2 + 3 = 21. Păstrăm 2 şi trecem 1 la rezultat. Iar ultima adunare este: 9 + 2 = 11. Şi trecem 11 la rezultat. Adică avem: 9 + 99 + 999 + … + 999…9(100 cifre) = 111…11010 (101 cifre, din care 99 sunt cifre de 1 şi două sunt cifre de 0). Iar dacă adunăm şi cu 101 avem: 9 + 99 + 999 + … + 999…9(100 cifre) + 101 = 111…1 (101 cifre de 1).
  • Câte cifre are numărul 3 x 86 x 257?

    Raspuns
    Pentru a afla câte cifre are numărul, modificăm forma numărului, folosind regulile de calcul cu puteri. Astfel avem: 3 x 86 x 257 = 3 x (23)6 x (52)7 = 3 x 218 x 514 = 3 x 24 x 214 x 514 = 3 x 16 x (2 x 5) 14 = 48 x 1014 = 48 x 1000 … 0 (14 cifre de 0). Numărul are 16 cifre.
  • Într-un plan sunt 10 puncte astfel încât oricare trei nu se află pe aceeaşi dreaptă. Se desenează toate segmentele având capetele în oricare două din aceste puncte. Care este cel mai mare număr de segmente ce pot fi intersectate de o dreaptă care nu conţine nici unul din cele 10 puncte?

    Raspuns
    Dreapta intersectează un segment atunci când capetele (extremităţile) segmentului sunt ‘de o parte şi de alta’ a dreptei date. Fiind dată dreapta şi cele 10 puncte, avem variantele: un punct se află de o parte şi celelalte 9 de cealaltă parte a dreptei; în acest caz sunt 9 segmente, intersectate de dreaptă, fiecare segment având un capăt în acel punct şi celălalt capăt în unul din cele nouă puncte; dacă 2 puncte sunt de o parte a dreptei şi celelalte 8 de cealaltă parte, avem 2 x 8 = 16 segmente, intersectate de dreaptă, fiecare segment având un capăt în unul din cele două puncte şi celălalt capăt în unul din cele 8 puncte; analog, cu 3 de o parte şi 7 de cealaltă parte, avem 3 x 7 = 21 segmente, cu 4 de o parte şi 6 de cealaltă parte, avem 4 x 6 = 24 segmente, cu 5 de o parte şi 5 de cealaltă parte, avem 5 x 5 = 25 de segmente. Rezultă că cel mai mare număr de segmente ce pot fi intersectate de dreaptă este 25.
  • Care este rezulatul calculului 1002 – 992 + 982 – 972 + … + 22 – 12?

    Raspuns
    Vom rezolva problema în două etape.
    Etapa 1. În acest calcul avem 100 de puteri (numere). Le vom grupa în felul următor: 1002 – 992 + 982 – 972 + … + 22 – 12 = (1002 – 992) + (982 – 972) + … + (22 – 12). Acum fiecare grupă (paranteză) o vom descompune într-un produs, folosind formula de descompunere a unei diferenţe de pătrate. Astfel avem: (1002 – 992) + (982 – 972) + … + (22 – 12) = (100 + 99)(100 – 99) + (98 + 97)(98 – 97) + … + (2 + 1)(2 – 1) = 199 x 1 + 195 x 1 + … + 3 x 1 = 199 + 195 + … + 3.
    Etapa 2. Vom afla suma 199 + 195 + … + 3. Numerele 3, …, 195, 199 sunt în progresie aritmetică (sunt o parte a unei progresii aritmetice), cu primul termen 3 şi raţia 4. Suma acestor termeni se poate calcula cu formula Sn =[ (a1 + an)n]/2. Unde a1 este primul termen (3 la suma dată), an este al n-lea termen (ultimul, 199 la suma dată), iar n este numărul termenilor sumei. La suma dată, au fost 100 de numere, s-au grupat câte două, adică numărul termenilor sumei este 50. Înlocuind avem: 1002 – 992 + 982 – 972 + … + 22 – 12 = [(3 + 199) x 50]/2 = (202 x 50)/2 = 101 x 50 = 5.050.
  • În câte zerouri se termină numărul obţinut prin înmulţirea primelor 2006 numere prime?

    Raspuns
    Un număr natural nenul mai mare decât 1 se numeşte prim dacă are numai 2 divizori: 1 şi numărul însuşi. 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; …sunt primele elemente din şirul infinit al numerelor prime. 2 este singurul număr prim par, toate celelalte numere prime fiind impare. Zerourile de la produsul primelor 2006 numere prime pot proveni de la 10, 100, 1000, …, dar aceste numere nu sunt prime şi deci nu apar ca factori în produsul din întrebare sau, mai pot proveni respectivele zerouri, de la înmulţirea unui număr par cu un număr ce are ultima cifră 5. Cum numerele pare, în afara lui 2, nu sunt prime, iar numerele având ultima cifră 5, în afara lui 5, nu sunt prime, înseamnă că singurele numere prime care pot produce un zero sunt 2 şi 5. Aşadar, numărul obţinut prin înmulţirea primelor 2006 numere prime se termină cu un singur 0.

Citeste si articolele:

You can leave a response, or trackback from your own site.

2 Responses to “Intrebari de zgariat neuronii (VII)”

  1. Intrebari de zgariat neuronii (VIII) | A șaptea dimensiune says:

    ianuarie 12th, 2019 at 10:06

    […] Intrebari de zgariat neuronii (VII) […]

  2. Intrebari de zgariat neuronii (IX) | A șaptea dimensiune says:

    mai 19th, 2019 at 8:14

    […] Intrebari de zgariat neuronii (VII) […]

Adauga un comentariu