Intrebari de zgariat neuronii (VIII)

duminică, aprilie 16, 2017 9:21
Posted in category Educatie

Matematica

  • Numărul 257 are trei cifre distincte, care, puse în ordine inversă, formează numărul mai mare 752. Câte numere de 3 cifre au această proprietate? (Numerele să fie formate din 3 cifre distincte, care, puse în ordine inversă, să formeze un număr mai mare decât numărul iniţial.)

    Raspuns
    Numerele de trei cifre sunt de la 100 la 999 (900 de numere). Dacă prima cifră este 1, alegem ultima cifră 2, 3, …, 9 (dacă şi ultima cifră ar fi 1, prin inversare s-ar obţine numere egale) şi numărul format din cifrele puse în ordine inversă (răsturnatul numărului iniţial) va fi mai mare. Pentru prima cifră 1 şi ultima 2, cifra din mijloc poate fi 0, 3, 4, …, 9 (opt cazuri), deoarece am eliminat 1 şi 2, pentru ca numărul să fie format din cifre diferite. Adică pentru pentru prima cifră 1 şi ultima 2 avem 8 numere. Analog pentru prima cifră 1 şi ultima 3 avem încă 8 numere, adică pentru prima cifră 1 şi ultima cifră 2, 3, …, 9 avem 8 x 8 = 64 numere. Dacă prima cifră este 2, ultima cifră poate fi 3, 4, …, 9 şi mai avem 8 x 7 = 56 numere. Şi aşa mai departe avem: 8 x 6 = 48 (dacă prima cifră este 3), 8 x 5 (dacă prima cifră este 4), 8 x 4 (dacă prima cifră este 5), 8 x 3 (dacă prima cifră este 6), 8 x 2 (dacă prima cifră este 7), 8 x 1 (dacă prima cifră este 8). Adică numărul numerelor cu proprietatea cerută este 8 x 8 + 8 x 7 + … + 8 x 1 = 8 x (8 + 7 + … + 1) = 8 x 36 = 288.
  • În câte submulţimi ale mulţimii {1, 2, 3, …, 12}, suma dintre cel mai mare şi cel mai mic element este 13?

    Raspuns
    Numărul submulţimilor unei mulţimi cu n elemente (n număr natural) este 2n. Mai trebuie precizat că într-o mulţime fiecare element se scrie o singură dată, iar ordinea în care se scriu elementele mulţimii nu contează. Pentru ca suma dintre cel mai mare şi cel mai mic element să fie 13, avem variantele: 13 = 12 + 1 = 11 + 2 = 10 + 3 = 9 + 4 = 8 + 5 = 7 + 6. Să luăm varianta 12 + 1, adică cel mai mic element 1, cel mai mare 12 şi suma lor 13. Dintre elementele rămase, 2, 3, …, 11, se pot alege oricare pentru a face parte din submulţime. De exemplu, {1, 2, 3, 12} este o submulţime a mulţimii date, iar {1, 5, 6, 7, 12} este o altă submulţime. Cu alte cuvinte, pe lângă 1 şi 12 putem avea alte elemente dintre numerele rămase. Iar aceste elemente sunt, de fapt, submulţimi ale mulţimii {2, 3, …, 11}. Numărul acestor submulţimi este 210 = 1024, deoarece de la 2 la 11 avem 10 numere. Aplicând acelaşi raţionament, dacă cel mai mic element este 2 şi cel mai mare 11, avem 28 = 256 submulţimi. Dacă cel mai mic element este 3 şi cel ami mare 10, avem 26 = 64 submulţimi. Dacă cel mai mic element este 4 şi cel mai mare 9, avem 24 = 16 submulţimi. Dacă cel mai mic element este 5 şi cel mai mare 8, avem 22 = 4 submulţimi. În sfârşit, dacă cel mai mic element este 6 şi cel mai mare 7, avem 20 = 1, adică o submulţime. În final adunăm şi avem 1024 + 256 + 64 + 16 + 4 + 1 = 1365 de submulţimi.
  • Un număr de 5 cifre este divizibil cu 3, 5 şi 8. Care este cea mai mică sumă posibilă a cifrelor acestui număr?

    Raspuns
    În general, un număr se divide cu 2n , unde n este un număr natural nenul, dacă ultimele n cifre ale numărului formează un număr care se divide cu 2n. Cum 8 = 23, numărul se divide cu 8 dacă ultimele 3 cifre ale numărului formează un număr care se divide cu 8. Analog, un număr se divide cu 5n, unde n este un număr natural nenul, dacă ultimele n cifre ale numărului formează un număr care se divide cu 5n. (Pentru a demonstra cele două afirmaţii anterioare se foloseşte descompunerea numărului în baza 10.) Adică numărul se divide cu 5 dacă are ultima cifră (cifra unităţilor) 0 sau 5. În sfârşit, un număr se divide cu 3 dacă suma cifrelor numărului se divide cu 3. Legat de numărul din enunţ, pentru a rezolva problema divizibilităţii cu 8 şi 5, cât şi pentru a fi cea mai mică sumă posibilă a cifrelor, se aleg ultimele 3 cifre 0. Pentru prima cifră alegem 1, cea mai mică posibilă. A mai rămas de ales a doua cifră. Aceasta se alege astfel încât numărul să se dividă cu 3 şi suma cifrelor să fie cea mai mică. Este evident că a doua cifră trebuie aleasă 2. Numărul este 12.000, iar cea mai mică sumă posibilă a cifrelor acestui număr este 3.

Citeste si articolele:

You can leave a response, or trackback from your own site.

One Response to “Intrebari de zgariat neuronii (VIII)”

  1. Intrebari de zgariat neuronii (IX) | A șaptea dimensiune says:

    ianuarie 12th, 2019 at 14:19

    […] Intrebari de zgariat neuronii (VIII) […]

Adauga un comentariu