A șaptea dimensiune

Cuadratura cercului

În ‘cuadratura cercului’, aşa cum este numită prescurtat, este vorba de un ‘cuadrat’, adică pătrat, şi de un cerc. Enunţul complet al acestei vestite probleme nerezolvabile aşa cum s-a propus este următorul: “Se dă un cerc; să se construiască numai cu linia (rigla) şi compasul pătratul care închide aceeaşi arie ca şi cercul”. Mai întâi de toate, din acest enunţ, se vede că trebuie să construim numai cu rigla şi compasul un pătrat care să închidă între laturile sale exact aceeaşi arie ca şi cercul, sau, altfel spus, pătratul să fie echivalent cu cercul. Pătratul trebuie să aibă exact aceeaşi arie ca şi cercul şi nu cu aproximaţie. Trebuie deci fie să calculăm aria cercului de rază dată şi să aflăm apoi latura pătratului echivalent, fie să construim (grafic), când ni se dă cercul, pătratul echivalent. Problema a fost pusă în acest mod la greci acum aproximativ 2.400 de ani, cu mult înainte de Euclid, şi a preocupat atât pe matematicieni, cât şi pe nespecialişti. Era pusă astfel problema, adică să se realizeze numai cu rigla şi compasul, fiindcă în epoca de aur grecească a matematicilor (600 – 200 î. Hr.) se considera că numai aceasta era o rezolvare pur geometrică. Problema calculării pătratului echivalent cercului este şi mai veche şi o întâlnim la egipteni, într-un papirus scris în jurul anului 1800 î. Hr. Cuadratura cercului are o vechime de aproximativ 3.800 de ani!

Legat de cuadratura cercului este şi rectificarea (aflarea lungimii) cercului, adică determinarea prin calcul sau construirea unui segment de aceeaşi lungime ca şi cercul. Iar aici apare o constantă celebră, notată π (pi) şi numită constanta cercului. Pentru cei care au petrecut orele de matematică pe terenul de sport sau cu oile, precum Gigi Becali, trebuie amintit că un cerc are o măsură şi o lungime. Măsura este exprimată în grade sexagesimale (sau în radiani), iar un cerc are măsura de 360⁰ sau 2π rad. Lungimea cercului este exprimată în metri, iar un cerc are lungimea de 2πr m, unde r reprezintă raza cercului. Revenind la constanta cercului (π), aceasta apare în felul următor: la orice cerc, raportul dintre lungimea cercului şi diametrul său este constant şi egal tocmai cu numărul π. Acest număr celebru are o istorie mai mult decât interesantă. De exemplu, egiptenii considerau π ≅ 3,1604, mai mare decât valoarea reală a lui π cu aproximativ 0,0188. Arhimede a considerat 3,01408<π<3,1428. Cuadratura cercului, aşa cum a fost pusă iniţial de greci, nu-i realizabilă şi s-a demonstrat că nu poate fi rezolvată, după cum se va vedea în continuare. La sfârşitul Evului Mediu şi în timpul Renaşterii, cuadratura cercului prezenta un aspect mistic. Se presupunea că avea urmări tainice, necunoscute, ca un fel de piatră filozofală abstractă. Cine o va rezolva, va putea înţelege o mulţime de fapte supranaturale.

La sfârşitul secolului al XVI-lea, Ludolph van Ceulen şi-a propus să determine pe π (constanta cercului) în limite mai strânse decât o făcuse Arhimede cu 18 secole mai înainte. Astfel, olandezul van Ceulen a stabilit valoarea lui π (prin metoda perimetrelor) cu 34 de zecimale exacte. Cam în aceeaşi perioadă, Adriaan Anthonitz a stabilit că π este cuprins între 3 întregi şi 15/106 şi 3 întregi şi 17/120. De aici a scos o valoare medie pentru π, 355/113, cunoscută după aceea sub numele de ‘aproximaţia lui Metius’. Începând cu François Viète se trece de la metode geometrice de calcul pentru π la metode analitice. Până în secolul XX, mulţi matematicieni s-au ocupat de calculul valorii lui π, obţinând rezultate din ce în ce mai exacte. În ziua de azi, π se poate calcula cu oricâte zecimale exacte se doreşte (π = 3,1415926535 …). Revenind la cuadratura cercului, germanul Ferdinand Lindemann a demonstrat în 1882 că problema nu este rezolvabilă cu rigla şi compasul într-un număr finit de paşi. Iar aceasta pentru că π este un număr transcendent, nu un număr algebric (un număr este algebric dacă este rădăcină a unei ecuaţii cu coeficienţi raţionali şi transcendent în caz contrar). Adică este imposibil să construim cu rigla şi compasul un pătrat al cărui arie să fie egală cu cea a unui cerc dat.

Citeste si articolele:

• Povestile nemuritoare ale Matematicii (II)
• Povestile nemuritoare ale Matematicii (I)
• Biografiile unor celebritati
• Realitatile sistemului educational din Romania
• Cum ne-au ucis bolsevicii rusofoni oamenii de stiinta geniali