Banda Möbius – misterul a fost rezolvat de un matematician după 5 decenii
duminică, octombrie 22, 2023 7:58
Benzile Möbius sunt forme geometrice care au doar o latură. Luați o fâșie de hârtie – are două feţe: faţă şi verso (dosul paginii). Dacă răsucim şi lipim cele două margini scurte, obţinem o Bandă Möbius, formată dintr-o singură faţă (nu mai există faţă şi verso). Puteți desena o linie pe întreaga suprafață fără a fi nevoie să ridicați creionul de pe hârtie. În urmă cu patruzeci și șase de ani, matematicienii au sugerat dimensiunea minimă pentru o astfel de bandă, dar nu au putut demonstra. Acum, în sfârşit, cineva a făcut-o.
De la crearea benzii de către August Ferdinand Möbius și Johann Benedict Listing, simplitatea ei în realizare și vizualizare era echilibrată de complexitatea matematică a unei astfel de forme. Nu este surprinzător că, în 1977, Charles Sidney Weaver și Benjamin Rigler Halpern au creat Conjectura Halpern-Weaver, care a afirmat raportul minim dintre lățimea benzii și lungimea acesteia. Ei au sugerat că pentru o bandă cu lățimea de 1 centimetru (0,39 inci), lungimea trebuie să fie de cel puțin rădăcină pătrată din 3 centimetri (aproximativ 1,73 centimetri sau 0,68 inci).
Pentru benzile netede de Möbius care sunt „încorporate”, adică nu se intersectează una cu cealaltă, conjectura nu avea nicio soluție. Dacă banda poate trece de la sine, este o problemă mult mai ușor de rezolvat, a propus matematicianul de la Universitatea Brown, Richard Evan Schwartz în 2020 – dar a făcut o greșeală. Într-o lucrare postată ca preprint – ceea ce înseamnă că nu a fost încă supusă evaluării de către colegi – Schwartz a corectat eroarea și a găsit soluția potrivită pentru conjectura.
Soluția provine dintr-o lemă din lucrarea sa anterioară. Un concept crucial este că pe suprafața benzilor Möbius există linii drepte care trec prin fiecare punct și se termină la granițe. Pentru a demonstra prima parte a lemei, trebuia să demonstreze că există drepte perpendiculare pe acele drepte existente în același plan. Și a făcut-o.
„Nu este deloc evident că aceste lucruri există”, a spus Schwartz pentru Scientific American.
Următorul pas a fost tăierea benzilor Möbius și formelor care se obţineau. Ideea a fost de a simplifica problema prin aplatizarea benzii pe un plan. În lucrarea originală, Schwartz credea că o bandă tăiată ar arăta ca un paralelogram, dar s-a dovedit a fi un patrulater diferit – un trapez.
„Calculul corectat mi-a dat numărul care a fost presupunerea”, a spus el. „Am fost uluit… Mi-am petrecut următoarele trei zile dormind puţin, dar completând lucrarea cu această idee.”
Preprintul a fost postat pe ArXiv.
Varianta mai completă în limba engleză se găseşte pe Scientific American.
Citeste si articolele:
