A șaptea dimensiune

• Câte numere de trei cifre au proprietatea că cifra din mijloc este media aritmetică a celorlalte două?

  Raspuns
  Numere de trei cifre sunt 900 (999 – 99 = 900). Dintre acestea, cele formate din cifre identice îndeplinesc acea condiţie. Astfel, avem numerele 111, 222, …, 999 (9 numere). Celelalte posibile numere au toate cele trei cifre diferite. (Dacă prima şi a treia cifră ar fi identice, ar rezulta că şi cifra din mijloc, media aritmetică a celor două, ar fi identică cu cele două. La fel, dacă prima şi a doua sau a doua şi a treia cifră ar fi identice, şi cifra rămasă ar fi aceeaşi, deoarece media aritmetică este egală cu unul din numere numai dacă numerele sunt egale, pentru numere diferite fiind mai mare decât cel mai mic dintre numere şi mai mică decât cel mai mare dintre numere.) Vom căuta celelalte numere analizând diverse cazuri după cifra a doua (cifra din mijloc). Astfel, această cifră nu poate fi 0, deoarece nu găsim alte două cifre, nu ambele nule, care să aibă media aritmetică 0. Dacă a doua cifră este 1, avem pentru prima şi a treia cifră variantele 1 şi 1 (111 l-am avut deja) sau 2 şi 0, pentru acest caz având numărul 210 (1 număr). Dacă cifra din mijloc este 2, avem: 222 (l-am avut), 123, 321, 420 (3 numere). Dacă a doua cifră este 3, avem, pe lângă 333, numerele: 630, 531, 135, 432, 234 (5 numere). Dacă a doua cifră este 4, avem, pe lângă 444, numerele: 840, 741, 147, 642, 246, 543, 345 (7 numere). Dacă a doua cifră este 5, avem, pe lângă 555, numerele: 951, 195, 852, 258, 753, 357, 654, 456 (8 numere). Dacă cifra din mijloc este 6, avem, pe lângă 666, numerele: 963, 369, 864, 468, 765, 567 (6 numere). Dacă cifra din mijloc este 7, avem, pe lângă 777, numerele: 975, 579, 876, 678 (4 numere). Dacă a doua cifră este 8, avem, pe lângă 888, numerele 987, 789 (2 numere). Dacă a doua cifră este 9, nu avem alte numere în afară de 999. Şi acum să adunăm: 1 + 2 + 3 + … + 9 = 45 numere.

• Care este numărul maxim de numere consecutive de 3 cifre care au, fiecare, cel puţin o cifră impară?

  Raspuns
  Numerele de trei cifre sunt de la 100 la 999. Pentru a afla numărul lor, efectuăm scăderea 999 (numărul numerelor de la 1 la 999) minus 99 (numărul numerelor de la 1 la 99, pe care nu le avem în secvenţa de mai sus) şi obţinem 900. Avem aşadar 900 de numere formate din 3 cifre. Numărul maxim de numere consecutive de trei cifre care au, fiecare, cel puţin o cifră impară este 111, adică numărul numerelor din una din următoarele secvenţe de numere consecutive: 289, …, 399; 489, …, 599; 689, …, 799; 889, …, 999. De ce 111? Să luăm, ca exemplu, secvenţa 289, …, 399. Numărul numerelor din această secvenţă, aplicând raţionamentul anterior, este: 399 – 288 = 111.

• Un număr de 5 cifre se numeşte ‘interesant’ dacă are toate cifrele distincte şi dacă prima cifră este egală cu suma celorlalte patru. Câte astfel de numere ‘interesante’ de 5 cifre există?

  Raspuns
  Prima cifră a unui număr ‘interesant’ nu poate fi 0, 1, 2, 3, 4 sau 5, deoarece nu găsim alte cifre distincte de prima a căror sumă să fie prima cifră. Rămân celelalte patru cifre 6, 7, 8, 9. Dacă prima cifră este 6, celelalte cifre pot fi 0, 1, 2, 3 (0 + 1 + 2 + 3 = 6), iar ordinea lor poate fi oricare. Avem aşadar 4! = 1x2x3x4 = 24 modalităţi de a ordona cele patru cifre. În concluzie, cu 6 prima cifră, există 24 de numere ‘interesante’. Dacă prima cifră este 7, celelalte patru pot fi 0, 1, 2, 4 (0 + 1 + 2 + 4 = 7) şi, aplicând raţionamentul anterior cu ordinea cifrelor, mai avem 24 de numere ‘interesante’. Dacă prima cifră este 8, celelalte pot fi 0, 1, 2, 5 (0 + 1 + 2 + 5 = 8) sau 0, 1, 3, 4 (0 + 1 + 3 + 4 = 8) şi mai avem 24 + 24 = 48 de numere interesante. Dacă prima cifră este 9, celelalte pot fi 0, 1, 2, 6 (0 + 1 + 2 + 6 = 9), 0, 1, 3, 5 (0 + 1 + 3 + 5 = 9) sau 0, 2, 3, 4 (0 + 2 + 3 + 4 = 9) şi mai avem 24×3 = 72 numere interesante. În total, sunt 24 x 7 = 168 de numere interesante.

• Câţi divizori primi are numărul 10.000?

  Dacă aplicăm proprietatea (propoziţia matematică adevărată) ‘Mulţimea divizorilor primi ai pătratului perfect n² este egală cu mulţimea divizorilor primi ai numărului natural n’, avem că mulţimea divizorilor primi ai numărului 10.000 ( = 100²) este egală cu mulţimea divizorilor primi ai lui 100. Apoi, deoarece 100 = 10², mulţimea divizorilor primi ai lui 100 este egală cu mulţimea divizorilor primi ai lui 10. Cum 10 are doar doi divizori primi (2 şi 5), avem că 100 are doar doi divizori primi, adică 10.000 are doar doi divizori primi.

• Restul împărţirii lui 1001 la un număr de o cifră este 5. Care este restul împărţirii lui 2006 la acelaşi număr?

  Raspuns
  Raționamentul meu nu a fost unul elegant, ci mai degrabă ”muncitoresc”. Singurele numere de o cifră care pot genera restul 5 sunt: 6,7,8 și 9. Dintre acestea doar 6 indeplineste criteriul. În final, restul împărțirii lui 2006 la 6 este 2.

Citeste si articolele:

• Intrebari de zgariat neuronii (IX)
• Intrebari de zgariat neuronii (VIII)
• Intrebari de zgariat neuronii (VII)
• Intrebari de zgariat neuronii (VI)
• Intrebari de zgariat neuronii (V)